Понятие о сплошном и выборочном наблюдении

Пример 6. Из приведенных выше результатов следует, что и являются несмещенными оценками параметров mи σ2 нормального распределения. Эффективная оценка – это несмещенная оценка, имеющая наименьшую дисперсию из всех возможных несмещенных оценок данного параметра.

Пусть имеется случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией ; оба параметра неизвестны. Это означает, что оценка (14.2.4) состоятельна. Пользуясь оценкой вместо дисперсии , мы будем совершать некоторую систематическую ошибку в меньшую сторону. Так как множитель стремится к единице при , а оценка состоятельна, то оценка также будет состоятельной.

Пользуясь оценкой вместо дисперсии D, мы получим систематическую ошибку. Предположим, что имеется параметрическое семейство распределений вероятностей (для простоты будем рассматривать распределение случайных величин и случай одного параметра). Различают два основных типа оценок: точечные оценки и доверительные интервалы.

Точечное оценивание — это вид статистического оценивания, при котором значение неизвестного параметра приближается отдельным числом. Ниже приводятся некоторые свойства, которыми могут обладать или не обладать точечные оценки. Условие состоятельности является практически обязательным для всех используемых на практике оценок.

Понятие о сплошном и выборочном наблюдении

Чаще всего несмещенные оценки параметров существуют и тогда стараются рассматривать только их. Однако могут быть такие статистические задачи, в которых несмещенных оценок не существует. Однако существование эффективной оценки есть довольно сильное требование на задачу, которое имеет место далеко не всегда.

Точечное оценивание

Часто вместе с точечной оценкой параметра строят доверительный интервал, середина которого равна этой оценке. Его ширина является наглядной характеристикой того, насколько точна может быть данная точечная оценка. Иногда бывает наоборот: естественным образом строится некоторый доверительный интервал, а в качестве точечной оценки параметра рассматривают его середину.

Поскольку М() = М(m**) = m, то выборочная медиана и полусумма крайних членов вариационного ряда m** — также несмещенные оценки математического ожидания m нормального распределения. Оценки, для которых соотношение М(θn) = θ неверно, называются смещенными. При этом разность между математическим ожиданием оценки θn и оцениваемым параметром θ, т.е. М(θn) – θ, называется смещением оценки.

Доверительные интервалы

В примере 7 показано, что оценка s2 является асимптотически несмещенной. Для подавляющего большинства оценок параметров, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений, дисперсия имеет порядок 1/n, а смещение – не более чем 1/n, где n – объем выборки. С дисперсией оценки связано третье важное свойство метода оценивания – эффективность. Оценка параметра — соответствующая числовая характеристика, рассчитанная по выборке.

Достаточные статистики

Когда оценка определяется одним числом, она называется точечной оценкой. Точечная оценка, как функция от выборки, является случайной величиной и меняется от выборки к выборке при повторном эксперименте. К точечным оценкам предъявляют требования, которым они должны удовлетворять, чтобы хоть в каком-то смысле быть «доброкачественными».

Практически все оценки параметров, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, являются либо несмещенными, либо асимптотически несмещенными. 2 и (σ2)** не являются состоятельными оценками дисперсии σ2 нормального распределения.